一、分数乘法

一、分数乘法

（一）分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：

8 ×5 表示求 5 个⁸ 的和是多少？

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如：8 × ³ 表示求⁸ 的³ 是多少？

（二）、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

（三）、规律：（乘法中比较大小时）

一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。

一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。

一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。

（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法 也同样适用。

乘法交换律： a × b = b × a

乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c +

b c = （ a + b ）×c 二、分数乘法的解决问题

（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）

1、画线段图：

（1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。

2、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、 “是”、“比”的后面

3、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几

分之几是多少： 一个数× 几

 4、写数量关系式技巧：

（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”

（2） 分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=

分率对应量

（3） 分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量

三、倒数

1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互．为．倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存， 倒数不能单独存在。

（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：

（1） 、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

（2） 、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。

（3） 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

（4） 、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。

3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 因为 1×1=1；0 乘任何数都得 0， ¹ （分母不能为 0）0

二、分数除法

一、 分数除法

1、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积 除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、 规律（分数除法比较大小时）：

（1） 、当除数大于 1，商小于被除数；

（2） 、当除数小于 1（不等于 0），商大于被除数；

（3） 、当除数等于 1，商等于被除数。

4、 “[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。

二、分数除法解决问题

（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1） 分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量

（2） 分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）=分率对应量

2、解法：（建议：最好用方程解答）

（1） 方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。

（2） 算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量÷单位“1”的量 或：

① 求多几分之几：大数÷小数 – 1

② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数三、比和比的应用

（一）、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

例如 15 ：10 = 15÷10=3 （比值通常用分数表示，也可2以用小数或整数表示）

 

∶	∶	∶	∶
前项	比号	后项	比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

6、 比和除法、分数的联系：

 

比	前 项	比号“：”	后 项	比值
除 法	被除数	除号“÷	” 除 数	商
分 数	分 子	分数线 “—”	分 母	分数值

 

7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数， 比表示两个数的关系。

8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。

体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

（二）、比的基本性质

1、根据比、除法、分数的关系：

不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外），分数值不变。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。

 

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数， 这样的比就是最简整数比。

3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4. 化简比：

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

 

（1） ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整

数比的方法来化简。

 

③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

 

（2） 用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。

 

如： 15∶10 = 15÷10 =

3 = 3∶2

2

5. 按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

如： 已知两个量之比为 a : b ，则设这两个量分别为

ax和bx 。

6、 路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同， 速度比是 4：5，时间比则为 5：4）

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是2：3）

 

 

 

三、 圆

一、 认识圆

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相

 

等．

3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度

是直径的¹ 。

2

用字母表示为：d＝2r 或r ＝ ^d

2

8、轴对称图形：

 

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。

10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有 2 条对称轴的图形是： 长方形

只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;

有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。

2、圆周率实验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数

（π）。

3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai） 表示。

（1） 、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π

≈ 3.14。

（2） 、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是 3.14倍。

（3） 、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π

或 C=2π r r = C ÷ 2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r

（2） 半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r 即 5.14 r

三、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。

 

 

3、圆面积公式的推导：

（1） 、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

（2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

（3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

 

 

圆的半径	=	长方形的宽
圆的周长的一半	=	长方形的长

因为： 长方形面积 = 长 × 宽

所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径S 圆 = πr × r

圆的面积公式： S = πr2 r2 = S ÷ π

4、环形的面积：

一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（R＝r＋环的宽度．）

 

S 环 = πR²－πｒ² 或

环形的面积公式： S _环 = π（R²－ｒ²）。

5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如： 在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3

倍，而面积扩大 9 倍。

6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：

两个圆的半径比是 2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是 2∶3，而面积比是 4∶9

7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值， 即：4∶π

8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

9、确定起跑线：

（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

（2） 、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）

（3） 、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度

（4） 、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２π ａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

11、常用各π值结果：

 

π = 3.14	5π	=	15.7	9π	=	28.26	36π	=	113.04
2π = 6.28	6π	=	18.84	10π	=	31.4	64π	=	200.96
3π = 9.42	7π	=	21.98	16π	=	50.24	96π	=	301.44

4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5

12、常用平方数结果

112

162

= 121 12

= 256 17

= 144 13

= 289 18

= 169 14

= 324 19

= 196 15

= 361

= 225

四、 百分数

 

一、百分数的意义和写法

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

 百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

 2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

3、 百分数和分数的主要联系与区别：

（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。

（2） 区别：

①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；

分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。

4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。

二、百分数和分数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

（二）百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：

先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数， 能约分要约成最简分数。

2、分数化成百分数：

① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。

②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

 

 

= 0.625 = 62.5%

 

= 0.125 = 12.5%

 

= 1.375 = 37.5%

 

= 0.875 = 87.5%

 

= 0.16 = 16﹪

25 25 25 25

三、用百分数解决问题

 

（一）一般应用题

1、常见的百分率的计算方法：

①合格率 =

 

 

③出勤率 =

合格产品数´100%

产品总数

 

出勤人数´100%

总人数

②发芽率 =

 

 

④达标率 =

发芽种子数´100%

种子总数

达标学生人数 ´100%

学生总人数

⑤成活率 =

成活的数量´100%

总数量

⑥出粉率 =

粉的重量出粉物的重量

´100%

⑦烘干率 =

烘干后的重量 ´100%

烘干前的重量

⑧含水率 =

烘干前的重量- 烘干后的重量 ´100%

烘干前的重量

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。）

2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：

数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1） 分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量

（2） 分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 ± 分率）= 分率对应量

3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。

解法：（建议：最好用方程解答）

（1） 方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2） 算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 

4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：

两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100% 或：

求多百分之几：（大数÷小数 – 1） × 100%

② 求少百分之几：（ 1 - 小数÷大数）× 100%

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。

几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= 六折五=0.65=65﹪

8 =80﹪,

10

2、 一成是十分之一，也就是 10%。三成五就是十分之三点五，也

就是 35%

（三）、纳税

1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安等事业。

3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率

（四）利息

1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

3、本金：存入银行的钱叫做本金。

4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

5、利率：利息与本金的比值叫做利率。

6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×

（1-利息税率）

 五、扇形统计图

一、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。

3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）

六、 比例

1、比例的意义 ：表示两个比相等的式子叫做比例。如：2：1=6：3

2、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，

 

中间的两项叫做内项。

3、比例的性质 ：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。例如：由 3：2=6:4 可知 3×4=2×6； 或者由x×1.5=y×1.2 可知x：y=1.2: 1.5。

（利用比例的意义和比例的基本性质可以判断两个比是否成比例）

4、解比例 ：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

例如：3：x = 4：8，内项乘内项，外项乘外项，则：4x =3×8， 解得x=6。

5  、正比例和反比例 ：（1）、成正比例的量： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示y/x=k(一定）

例如：①、速度一定，路程和时间成正比例；因为：路程÷时间= 速度（一定）。

②、圆的周长和直径成正比例，因为：圆的周长÷直径=圆周率（一定）。

③、圆的面积和半径不成比例，因为：圆的面积÷半径=圆周

率和半径的积（不一定）。

④、y=5x，y 和 x 成正比例，因为：y÷x=5（一定）。

⑤、每天看的页数一定，总页数和天数成正比例，因为：总页数

÷天数=每天看页数（一定）。

（2）、成反比例的量 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示x×y=k(一定)

例如：①、路程一定，速度和时间成反比例，因为：速度×时间= 路程（一定）。

②、总价一定，单价和数量成反比例，因为：单价×数量= 总价（一定）。

③、长方形面积一定，它的长和宽成反比例，因为：长×宽= 长方形的面积（一定）。

④、40÷x=y，x 和 y 成反比例，因为：x×y=40（一定）。

⑤、煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比例，因为： 每天烧煤量×天数=煤的总量（一定）。

6、图上距离：实际距离=比例尺；比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。

例如：1、图上距离 2cm，实际距离 4km，则比例尺为 2cm： 4km，最后求得比例尺是 1:200000。

2、：在一幅某乡农作物布局图上，20 厘米表示实际距离 16 千米。求这幅图的比例尺。

16 千米 = 1600000 厘米20 =1600000

3、例题：说出下面比例尺表示的意思。

 

这是线段比例尺，它表示图上 1 厘米的距离代表实际距离 200 千米。

7、实际距离=图上距离÷比例尺；

例如：已知图上距离 2cm 和比例尺，则实际距离为：2÷

1 =400000cm=4km。

200000

8、图上距离=实际距离×比例尺；

例如：已知实际距离 4km 和比例尺 1:200000，则图上距离为：

400000×

1 =2（cm）

200000

9、图形的放大或缩小把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。（比的前项大于比的后项是放大，反之是缩小）

常用单位换算

长度单位换算

1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1

厘米=10 毫米面积单位换算

1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平

方分米

1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米体(容)积单位换算

1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 立方分米=1 升

1 立方厘米=1 毫升 1 立方米=1000 升重量单位换算

1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤人民币单位换算

1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分时间单位换算

1 世纪=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有:4\6\9\11 月

平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天, 闰年全年 366

天 1 日=24 小时

1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒